Thứ Bảy, 31 tháng 5, 2014

$(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\geq 4$


Bài toán:
Cho $x;y>0$ thoả: $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\geq 4$. Tìm Min $P=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}$


Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô si có:
$$4\leq (\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)$$
$$=\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+1$$
$$\leq \dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x+1}{2}+\dfrac{y+1}{2}+1$$
$$=x+y+2$$
$\Rightarrow x+y\geq 2$
Áp dụng BĐT BCS dạng cộng mẫu có:
$$P=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}\geq \dfrac{(x+y)^2}{x+y}=x+y\geq 2$$
Dấu = xảy ra khi: $x=y=1$
Người đăng: vào lúc Không có nhận xét nào:
Nhãn:

$(x+y+1)(xy+x+y)=5+2(x+y)$

Bài toán:
Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ thoả mãn đẳng thức: $(x+y+1)(xy+x+y)=5+2(x+y)$


Lời giải:
$PT\Leftrightarrow (x+y+1)(xy+x+y)=2(x+y+1)+3$
$\Leftrightarrow (x+y+1)(xy+x+y-2)=3$
Do $x;y$ nguyên nên $x+y+1$ và $xy+x+y-2$ nguyên
$\Rightarrow x+y+1;xy+x+y-2$ thuộc $\textrm{Ư}(3)$
Vậy ta có: $\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x+y+1=3  &  & \\ xy+x+y-2=1  &  &  \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+y=2  &  & \\ xy=1  &  &  \end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=1  &  & \\\left\{\begin{matrix}x+y+1=-1  &  & \\ xy+x+y-2=-3  &  &  \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+y=-2  &  & \\ xy=1  &  &  \end{matrix}\right. \Rightarrow x=y=-1  &  & \\\left\{\begin{matrix}x+y+1=1  &  & \\ xy+x+y-2=3  &  &  \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+y=0  &  & \\ xy=5   &  &  \end{matrix}\right. \Rightarrow PTVN \\\left\{\begin{matrix}x+y+1=-3  &  & \\ xy+x+y-2=-1  &  &  \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+y=-4  &  & \\ xy=5  &  &  \end{matrix}\right. \Rightarrow PTVN \end{bmatrix}$
Người đăng: vào lúc Không có nhận xét nào:
Nhãn:

Thứ Tư, 28 tháng 5, 2014

$\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{4x^2+4x+1}=x+m$

Bài toán:
Dùng đồ thị biện luận theo $m$ số nghiệm của pt:
$$\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{4x^2+4x+1}=x+m$$




Lời giải:


$PT\Leftrightarrow |x-2|+|2x+1|-x=m~~~(*)$
Đặt $y=|x-2|+|2x+1|-x~~~(1)$
Lập bảng xét dấu ....
Cuối cùng ta có:
  • $y=1-4x$ nếu $x\leq \frac{-1}{2}$
  • $y=3$ nếu $-\frac{1}{2}<x\leq 2$
  • $y=2x-1$ nếu $x>2$
Đồ thị 

Số nghiệm của $(*)$ chính là số giao điểm của đths $(1)$ và đường thẳng $y=m$
+) Nếu $m<3$ thì không có điểm chung.
PTVN
+) Nếu $m=3$ thì có vô số điểm chung
PT có vô số nghiệm $-\frac{1}{2}\leq x\leq 2$
+) Nếu $m>3$ thì có 2 điểm chung
PT có 2 nghiệm phân biệt
Người đăng: vào lúc Không có nhận xét nào:
Nhãn:

Thứ Ba, 27 tháng 5, 2014

$\dfrac{2x-2+\sqrt{3x-2}}{\sqrt{8x^2-2x-2}-1}\geq 1$

Bài toán:Giải bất phương trình:
$$\dfrac{2x-2+\sqrt{3x-2}}{\sqrt{8x^2-2x-2}-1}\geq 1$$



Lời giải:


Điều kiện: $x\geq \dfrac{2}{3}$ và $x\neq \dfrac{3}{4}$.
TH1: Nếu $x > \dfrac{3}{4}$ta có $\sqrt {8{x^2} - 2x - 2}  - 1 > 0$
bất phương trình tương đương với:
$2x - 2 + \sqrt {3x - 2}  \ge \sqrt {8{x^2} - 2x - 2}  - 1 \Leftrightarrow 2x - 1 + \sqrt {3x - 2}  \ge \sqrt {8{x^2} - 2x - 2} $.
Ta có: $2x - 1 + \sqrt {3x - 2}  \le \sqrt {2\left( {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 3x - 2} \right)}  = \sqrt {8{x^2} - 2x - 2} $.
Vì vậy dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \dfrac{{2x - 1}}{1} = \dfrac{{\sqrt {3x - 2} }}{1} \Leftrightarrow x = 1$.
TH2: Nếu $\dfrac{2}{3} \le x < \dfrac{3}{4}$ ta có $\sqrt {8{x^2} - 2x - 2}  - 1 < 0$
bất phương trình tương đương với:
$2x - 2 + \sqrt {3x - 2}  \le \sqrt {8{x^2} - 2x - 2}  - 1 \Leftrightarrow 2x - 1 + \sqrt {3x - 2}  \le \sqrt {8{x^2} - 2x - 2} $ (theo trên ta có luôn đúng).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {\dfrac{2}{3};\dfrac{3}{4}} \right) \cup \left\{ 1 \right\}$.
Người đăng: vào lúc Không có nhận xét nào:
Nhãn:

Bộ Đề thi - Đáp án

Đề thi - Đáp án
I.Đề thi HSG THCS cấp Quốc gia




II.Đề thi HSG lớp 7, 8
III.Đề thi HSG lớp 9
IV.Đề thi vào lớp 10 trường PTNK ĐHQG TP.HCM
V.Đề thi vào lớp 10 hệ THPT chuyên ĐHSP ĐHQG HN
VI.Đề thi vào lớp 10 hệ THPT chuyên ĐHKHTN ĐHQG HN
VII.Đề thi vào lớp 10 các trường THPT chuyên trên toàn quốc
VIII. Đề thi Giải toán trên máy tính cầm tay CASIO-VINACAL
IX. Một số tài liệu tổng hợp
X. Một số đề luyện thi vào lớp 10
Người đăng: vào lúc Không có nhận xét nào:
Nhãn:
Đăng ký: Nhận xét (Atom)

Bài đăng phổ biến