Tổng hợp các thủ thuật Blog

Các thủ thuật Blog khác mình nghĩ các bạn nên xem ở đây

Tổng hợp tài liệu (của anh Lữ)

1) Chuyên đề tổng hợp: http://www.mediafire.com/?lmp45uznc69nkg2

Bao gồm các chuyên đề bồi dưỡng giáo viên hè của KHTN, các tập san Toán học của các trường THPT cùng một số sách, tạp chí nổi tiếng. Đây là các nội dung tổng hợp gồm nhiều dạng Toán ở những mức độ khác nhau được xem xét không chỉ về mặt phương pháp mà còn cả cách áp dụng nên rất có ích trong việc rèn luyện kĩ năng giải Toán một cách tổng quát.

2) Chuyên đề luyện thi HSG: đại số – giải tích: http://www.mediafire.com/?62mgxrrcug4ivug

Gồm các chuyên đề xoay quanh hai nội dung đại số (chủ yếu là BĐT và PT – HPT) cùng giải tích. Bao gồm rất nhiều kiến thức và bài tập liên quan đến hai phần này như: các kĩ thuật chứng minh BĐT, các kĩ thuật giải PT – HPT, các bài toán về đa thức, lượng giác, các bài toán về giới hạn dãy số, phương trình hàm, … Đây là các chuyên đề của nhiều với nhiều ý tưởng khác nhau, khai thác không chỉ chiều rộng và còn chiều sâu của vấn đề nên có thể dùng để cải thiện cũng như hoàn chỉnh các kĩ năng liên quan.

3) Chuyên đề luyện thi HSG: hình học – số học – tổ hợp: http://www.mediafire.com/?mo5zj0ko88f1pg8

Gồm các chuyên đề xoay quanh hai nội dung hình học, số học và tổ hợp. Bao gồm rất nhiều kiến thức và bài tập liên quan đến ba phần này như: các định lí trong hình phẳng và ứng dụng, lý thuyết số và các bài toán về tổ hợp – suy luận. Đây là các nội dung khó của kì thi chọn HSG nên cần có thời gian đầu tư nhất định. Tài liệu này đưa ra một số phương pháp điển hình cùng các bài tập để rèn luyện dần dần.

4) Đề thi HSG khu vực và quốc gia: http://www.mediafire.com/?5b1fszbwgcgz15t

Đây là một tập hợp nhiều đề thi từ tỉnh, khu vực cho đến quốc gia, quốc tế rất phong phú và đa dạng về nội dung và hình thức. Các đề này cung cấp một lượng tài liệu lớn để củng cố các kĩ năng đã nắm được thông qua một quá trình tìm hiểu nhất định và từ đó trao dồi thêm kĩ năng giải Toán cũng như đưa ra thêm kế hoạch rèn luyện cụ thể.

5) Đề thi HSG có lời giải: http://www.mediafire.com/?ctsgkor91569jqx

Bên cạnh các đề thi thực tế được giới thiệu, các tài liệu này còn cung cấp thêm các lời giải, đáp án từ mức độ gợi ý cho đến chi tiết để thông qua đó giới thiệu thêm nhiều phương pháp và kinh nghiệm tích lũy cần thiết cho các kì thi sau này. Đây cũng là tài liệu để chọn lọc và sáng tạo ra các đề bài, đề thi mới phục vụ cho việc học tập, giảng dạy và thi cử.

6) Toán cao cấp: http://www.mediafire.com/?l3fng3qf93gl0x2

Gồm một vài giáo trình về Toán cao cấp, các đề thi đánh giá năng lực ở nhiều lĩnh vực từ đơn giản cho đến phức tạp. Bên cạnh đó là một số chuyên đề khá chi tiết và bài tập rèn luyện dùng cho kì thi Olympic Toán Sinh viên trong và ngoài nước được tổ chức hàng năm.

$2011x^2 -2012y^2 +2013^2=0$

Bài toán:

Cmr: Pt sau có vô số nghiệm nguyên

$$2011x^2 -2012y^2 +2013^2=0$$

Lời giải:
$\Leftrightarrow 2012y^2-2011x^2=2013^2$  (1)

Xét phương trình $2012y^2-2011x^2=1$ (2)

Nhận thấy nếu phương trình (2) có nghiệm $(x_0,y_0)$ thì phương trình (1) có nghiệm $(2013x_0;2013y_0)$

Ta sẽ chứng minh phương trình (2) có vô số nghiệm nguyên

Bổ đề : Cho phương trình $ay^2-bx^2=1$ trong đó $a-b=1$ (3)

Nếu phương trình có nghiệm $(x_0;y_0)$ thì phương trình cũng có nghiệm $(x_1;y_1)$ với 

$\left\{\begin{matrix} x_1=(a+b)x_0+2ay_0 \\ y_1=2bx_0+(a+b)y_0 \end{matrix}\right.$

Thật vậy $ay_1^2-bx_1^2$
$=a[4b^2x_0^2+4b(a+b)x_0y_0+(a+b)^2y_0^2]-b[(a+b)^2x_0^2+4a(a+b)x_0y_0$
$+4a^2y_0^2]$
$=(a+b^2(ay_0^2-bx_0^2))-4ab(ay_0^2-bx_0^2)$
$=(a-b)^2=1$ (ĐPCM)

Áp dụng bổ đề ta thấy các cặp sau là nghiệm của phương trình (2)

$\left\{\begin{matrix} x_{n+1}=4023x_n+4024y_n \\ y_{n+1}=4022x_n+4023y_n \end{matrix}\right.$ với $\left\{\begin{matrix} x_0=1 \\ y_0=1 \end{matrix}\right.$

Dễ thấy các cặp số $(x_n;y_n)$ không trùng nhau nên phương trình (2) có vô số nghiệm . Do đó phương trình (1) có vô số nghiệm

$A=(a+b+c+3)\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\right)$

Bài toán: 
Cho $a;b;c$ thoả mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $$A=(a+b+c+3)\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\right)$$


Lời giải: Đặt $x=a+1;y=b+1;c=z+1$

Đưa bài toán về:

Quote

Cho $x;y;z$ thỏa mãn $1\leq x\leq y\leq z\leq 2$. Tìm Max $P=(x+y+z)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)$      $(=10)$

Bạn nào quen làm BĐT chắc đã biết bài này!

Vì $1\leq x\leq y\leq z\leq 2$ nên

• $\left(\dfrac{x}{y}-1\right)\left(\dfrac{y}{z}-1\right)\geq 0\Leftrightarrow \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}\leq \dfrac{x}{z}+1$
• $\left(\dfrac{y}{x}-1\right)\left(\dfrac{z}{y}-1\right)\geq 0\Leftrightarrow \dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}\leq \dfrac{z}{x}+1$

Vậy $P\leq 5+2\left(\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\right)$

Mà $\left(\dfrac{x}{z}-1\right)\left(\dfrac{z}{x}-2\right)\geq 0\Leftrightarrow 3\geq \dfrac{2x}{z}+\dfrac{z}{x}$
$\Leftrightarrow \dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\leq 3-\dfrac{x}{z}\leq 3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$

$\Rightarrow P\leq 10$

$A=\dfrac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}+\dfrac{xy+x+y}{(x+y+1)^2}$

Bài toán:Tìm Min $$A=\dfrac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}+\dfrac{xy+x+y}{(x+y+1)^2}$$



Lời giải:
Đặt $t=\dfrac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}$
Ta sẽ chứng minh $t\geq 3$
Thật vậy: $$t\geq 3\Leftrightarrow 2(x+y+1)^2\geq 6(x+y+xy)$$
$$\Leftrightarrow (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2\geq 0$$
Điều này luôn đúng.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$
Ta có: $A=\dfrac{8t}{9}+\left(\dfrac{t}{9}+\dfrac{1}{t}\right)\geq \dfrac{24}{9}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{3}$
Dấu $"="$ xảy ra khi: $t=3\Leftrightarrow x=y=1$

Fermat và định lý cuối cùng của Fermat

Nhân kỉ niệm ngày sinh Fermat

Pierre de Fermat sinh ngày 17 tháng 8 năm 1601 tại Pháp, mất ngày 12 tháng 01 năm 1665. Fermat là một học giả vĩ đại, một nhà toán học nổi tiếng và là cha đẻ của lý thuyết số hiện đại.

 Fermat xuất thân từ một gia đình khá giả, ông học ở Toulouse và lấy bằng cử nhân luật dân sự rồi làm chánh án nhưng lại vô cùng say mê toán học với thói quen nổi tiếng là ghi các ghi chú bên lề các quyển sách.

Ông vừa là một luật sư, vừa là một nhà toán học đã đóng góp nhiều vào sự phát triển bước đầu của toán học. Đặc biệt, ông được nhớ đến qua sự khám phá một phương pháp đầu tiên để tìm cực đại và cực tiểu của tung độ của đường cong. Ông cũng nghiên cứu về lý thuyết số và có nhiều đóng góp trong các lảnh vực hình học giải tích, xác suất và quang học.

Người ta biết đến Fermat không phải là một nhà toán học mà là một luật sư.

Định lý cuối cùng của Fermat được nghĩ ra năm 1637 khi Fermat nghiên cứu quyển sách toán cổ Hy lạp Arithmetica, viết bởi Diophantus vào khoảng năm 250 AD. Trang sách đã gợi ý cho Fermat bàn về các tính chất quanh định lý Pythagore, có đại ý là:

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng số bình phương của hai cạnh góc vuông.

Nói khác đi, phương trình $x^2+y^2=z^2^$ có vô số lời giải và từ đó sẽ tìm được bộ 3 số Pythagore.

Từ định lý Pythagore, Fermat đã tìm xem có 3 số nguyên x,y,z nào thỏa cho một phương trình như phương trình của Pythagore nhưng ở bậc cao hơn hay không xn+yn=zn Nhưng đều thất bại. Theo Fermat thì phương trình này với 3 ẩn số nguyên x,y,z và n>2 không thể giải được.

Ông đã viết điều này bên lề quyển Arithmetica đại khái như sau:

Không thể nào tách một số lập phương thành tổng số của hai số lập phương khác, hay một số tứ phương thành tổng số của hai số tứ phương khác.

Một cách tổng quát:

Không thể tách rời bất kỳ lũy thừa bậc lớn hơn hai nào của một số nguyên thành hai lũy thừa cùng bậc của hai số nguyên khác.

và ông còn viết thêm:

Tôi đã tìm được một chứng minh tuyệt vời cho mệnh đề này nhưng lề của quyền sách này không đủ chỗ để viết.

Định lý này của Fermat đã gây cảm hứng cho nhiều thế hệ tiếp theo, không những cho các nhà toán học mà còn cho cả những người hiếu kỳ muốn thử tài mình. Người thì tìm cách chứng minh định lý đó đúng, người thì tìm cách chứng minh định lý đó sai. Các trường hợp n=3 và 5 đã được Euler, Dirichlet và Legendre chứng minh năm 1825 và phải đến 15 năm sau, trường hợp n=7 mới được Gabriel Lamé chứng minh.

Một điều không may là các chứng minh đó tương đối dài và khó mà suy rộng đến trường hợp tổng quát. Mặc dầu được gọi là định lý nhưng mệnh đề mà Fermat nêu lên chưa được chứng minh đúng một cách tổng quát.

Sở dĩ định lý này được gọi là "Định lý cuối cùng của Fermat" vì tất cả những mệnh đề toán học mà Fermat nêu lên đều đã được chứng minh, trừ mệnh đề này!

Năm 1823 và 1850, Hàn lâm viện Khoa học Pháp treo hai giải thưởng cho một lời giải đúng của định lý. Một giải thưởng thứ ba do Hàn lâm viện Brussels đề nghị năm 1883 và năm 1908, nhà toán học tài tử Paul Friedrich Wolfskehl tặng 100,000 Mác cho Hàn lâm viện Khoa học Göttingen để làm giải thưởng.

Sau đó thì cả ngàn lời giải đã được gởi đến các Hàn lâm viện trong khoảng thời gian từ 1908 đến 1911, nhưng tất cả đều sai!

Theo thời gian, có rất nhiều công trình đã được thực hiện để cố chứng minh định lý sau cùng của Fermat, nhưng tất cả những chứng minh nầy đều được khám phá là sai. Càng cố gắng bao nhiêu, các nhà toán học càng thất vọng bấy nhiêu và một chứng minh được chấp nhận càng xa vời.

Nhà toán học người Đức Ernst Kummer đã chứng minh định lý này là đúng với mọi số nguyên tố tới 100 (trừ 3 Số nguyên tố phi chính quy là 37, 59, 67).

Cuối cùng nó được chứng minh bởi Andrew Wiles năm 1993 sau gần 8 năm ròng nghiên cứu, phát triển chứng minh các giả thiết có liên quan. Mãi đến tháng 8 năm 1995 hội thảo ở Đại học Boston, giới toán học công nhận chứng minh là đúng. (Xem thêm hành trình chứng minh định lý lớn Fermat từ Wikipedia)

Helen G. Grundman, giáo sư toán trường Bryn Mawr College, đánh giá tình hình của cách chứng minh đó như sau:

"Tôi nghĩ là ta có thể nói, vâng, các nhà toán học hiện nay đã bằng lòng với cách chứng minh Định lý lớn Fermat đó. Tuy nhiên, một số sẽ cho là chứng minh đó của một mình Wiles mà thôi. Thật ra chứng minh đó là công trình của nhiều người. Wiles đã có đóng góp đáng kể và là người kết hợp các công trình lại với nhau thành cái mà ông đã nghĩ là một cách chứng minh. Mặc dù cố gắng khởi đầu của ông được phát hiện sau đó là có sai lầm, Wiles và người phụ tá Richard Taylor đã sửa lại được, và nay đó là cái mà ta tin là cách chứng minh đúng Định lý lớn Fermat."

"Chứng minh mà ta biết hiện nay đòi hỏi sự phát triển của cả một lãnh vực toán học chưa đuợc biết tới vào thời Fermat. Bản thân định lý được phát biểu rất dễ dàng và vì vậy xem ra có vẻ đơn giản một cách giả tạo; bạn không cần biết rất nhiều về toán để hiểu bài toán. Tuy nhiên, để rồi nhận ra rằng, theo kiến thức tốt nhất của bạn, cần phải biết rất nhiều về toán mới có thể giải được nó. Vẫn là một câu hỏi chưa có lời đáp rằng liệu có hay không một cách chứng minh Định lý lớn Fermat mà chỉ liên quan tới toán học và các phương pháp đã có vào thời Fermat. Chúng ta không có cách nào trả lời trừ phi ai đó tìm ra một chứng minh như vậy." (Wikipedia).

Mời bạn thảo luận thêm tại đây.

Nguồn: http://diendantoanhoc.net/home/l%E1%BB%8Bch-s%E1%BB%AD-to%C3%A1n-h%E1%BB%8Dc/danh-nh%C3%A2n-to%C3%A1n-h%E1%BB%8Dc/844-fermat-v%C3%A0-%C4%91%E1%BB%8Bnh-l%C3%BD-cu%E1%BB%91i-c%C3%B9ng-c%E1%BB%A7a-fermat