Chứng minh định lý Ce-va và Menelaus

$I-$ Định lý $Ce-va$:

Bài toán:

Cho tam giác $ABC$, $D;E;F$ thuộc đường thẳng $BC;CA;AB$ 

Cmr: $AD;BE;CF$ đồng quy $\Leftrightarrow \dfrac{AF}{FB}.\dfrac{BD}{DC}.\dfrac{CE}{EA}=1$

Lời giải:

[attachment=17891:h.PNG]

·                                 Chứng minh phần thuận:

Nếu có:  $AD;BE;CF$ đồng quy

thì ta sẽ chứng minh: $\dfrac{AF}{FB}.\dfrac{BD}{DC}.\dfrac{CE}{EA}=1$

Giả sử $AD;BE;CF$ đồng quy tại $O$ thì $O$ ở trong hay ở ngoài tam giác $ABC$ ta đều có:

$\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{S_{AFO}}{S_{BFO}}=\dfrac{S_{CAF}}{S_{CBF}}=\dfrac{S_{CAF}-S_{AFO}}{S_{CBF}-S_{BFO}}=\dfrac{S_{AOC}}{S_{BOC}}$

Chứng minh tương tự (Cmtt) :

+) $\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{S_{AOB}}{S_{AOC}}$

+) $\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{S_{BOC}}{S_{AOB}}=1$

Nhân 3 đẳng thức trên lại ta được:

$\dfrac{AF}{FB}.\dfrac{BD}{DC}.\dfrac{CE}{EA}=1$

·                                 Chứng minh phần đảo:

Nếu có: $\dfrac{AF}{FB}.\dfrac{BD}{DC}.\dfrac{CE}{EA}=1$

thì ta sẽ chứng minh: $AD;BE;CF$ đồng quy

Gọi $BE\cap CF\equiv O$; $AO\cap BC\equiv D'$

Ta có: $\left\{\begin{matrix}\dfrac{AF}{FB}.\dfrac{BD}{DC}.\dfrac{CE}{EA}=1  &  & \\ \dfrac{AF}{BF}.\dfrac{BD'}{CD'}.\dfrac{CE}{AE}=1 (*) &  &  \end{matrix}\right.$

(Chứng minh $(*)$ giống phần thuận)

$\Rightarrow \dfrac{BD}{CD}=\dfrac{BD'}{CD'}\Rightarrow \dfrac{BD}{DC\pm BD}=\dfrac{BD'}{CD'\pm BD'}$ (Do có 2 truờng hợp)

$\Rightarrow \dfrac{BD}{BC}=\dfrac{BD'}{BC}\Rightarrow BD=BD'$

Cmtt $\Rightarrow DC=D'C$

Từ 2 điều trên $\Rightarrow D\equiv D'$

Vậy $AD;BE;CF$ đồng quy.

$II-$ Định lý $Menelauyt$ ($Menelaus$)

Bài toán:

Cho tam giác $ABC$. $D;E;F$ thuộc đường thẳng $BC;CA;AB$.

Cmr: $D;E;F$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \dfrac{AF}{BF}.\dfrac{BD}{CD}.\dfrac{CE}{AE}=1$

Lời giải:

[attachment=17900:h.PNG]

·                                 Chứng minh phần thuận

Nếu có $D;E;F$ thẳng hàng

thì ta sẽ chứng minh: $\dfrac{AF}{BF}.\dfrac{BD}{CD}.\dfrac{CE}{AE}=1$

Giả sử $D;E;F$ thẳng hàng.

Kẻ $AQ//BC$ ($Q\in DF$)

Theo định lý Ta-let ta có:

+) $\dfrac{AF}{BF}=\dfrac{QF}{FD}=\dfrac{AQ}{BD}$

+) $\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{DC}{AQ}$

Nhân 2 đẳng thức trên ta có:

$\dfrac{AF}{BF}.\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{AQ}{BD}.\dfrac{DC}{AQ}=\dfrac{DC}{BD}$

$\Leftrightarrow \dfrac{AF}{BF}.\dfrac{BD}{CD}.\dfrac{CE}{AE}=\dfrac{BD}{CD}.\dfrac{CD}{BD}=1$

·                                 Chứng minh phần đảo

Nếu có $\dfrac{AF}{BF}.\dfrac{BD}{CD}.\dfrac{CE}{AE}=1$

thì ta sẽ chứng minh: $D;E;F$ thẳng hàng

Giả sử ta có: $\dfrac{AF}{BF}.\dfrac{BD}{CD}.\dfrac{CE}{AE}=1$

Gọi $FD\cap AC\equiv E'$

Ta có: $\left\{\begin{matrix}\dfrac{AF}{BF}.\dfrac{BD}{CD}.\dfrac{CE}{AE}=1  &  & \\ \dfrac{AF}{BF}.\dfrac{BD}{CD}.\dfrac{CE'}{AE'}=1 (*)  &  &  \end{matrix}\right.$

(Chứng minh $(*)$ giống phần thuận)

$\Rightarrow \dfrac{CE}{AE}=\dfrac{CE'}{AE'}\Rightarrow \dfrac{CE}{AE+CE}=\dfrac{CE'}{AE'+CE'}\Rightarrow \dfrac{CE}{AC}=\dfrac{CE'}{AC}\Rightarrow CE=CE'$

Cmtt $\Rightarrow BE=BE'$

$\Rightarrow E\equiv E'$

Vậy $D:E;F$ thẳng hàng

$\sqrt{\dfrac{a}{4a+4b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{4b+4c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{4c+4a+b}}\leq 1$

Bài toán: 

Cho a,b,c là các số thực dương .CMR : $\sqrt{\dfrac{a}{4a+4b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{4b+4c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{4c+4a+b}}\leq 1$

Lời giải:

Ta sẽ chứng minh:

$\sum \dfrac{a}{4a+4b+c}\leq \dfrac{1}{3}$ (1)

Nhân 2 vế với 4(a+b+c) ta được

$\sum \dfrac{a}{4a+4b+c}4(a+b+c)\leq \dfrac{4(a+b+c)}{3}$

$\Leftrightarrow (a+b+c)+\sum \dfrac{a}{4a+4b+c}.(3c)\leq \dfrac{4(a+b+c)}{3}$

$\Leftrightarrow \sum \dfrac{3ac}{4a+4b+c}\leq \dfrac{a+b+c}{3}$

$\Leftrightarrow \sum \dfrac{9ac}{4a+4b+c}\leq a+b+c$

$(1)\Leftrightarrow \sum \dfrac{9ac}{4a+4b+c}\leq a+b+c$

$VT=\sum ac(\dfrac{(2+1)^2}{2(2a+b)+(2b+c)})\leq \sum (\dfrac{2ac}{2a+b}+\dfrac{ac}{2b+c})$

$=\sum (\dfrac{2ac}{2a+b}+\dfrac{bc}{2a+b})=(a+b+c)$

Vậy (1) được CM. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=2b,c=0$ và các hoán vị

Trở lại bài toán:

Ta có:$\sum \dfrac{a}{4a+4b+c}\geq \dfrac{2}{3}\sum \sqrt{\dfrac{a}{4a+4b+c}}-\dfrac{1}{3}$

Kết hợp (1) ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

CÁCH GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT

CÁCH GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT

Bài toán 1: Giải pt:
$\sqrt{ax+b}=cx^2+dx+e$ $(I)$ với $ac\neq 0$

Lời giải: Đặt $\sqrt{ax+b}=\alpha y+\beta$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}\alpha y+\beta =cx^2+dx+e & & \\ ax+b=\alpha ^2y^2+2\alpha \beta y+\beta ^2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}cx^2+dx-\alpha y=\beta -e (1) & & \\ \alpha ^2y^2+2\alpha \beta y-ax=b-\beta ^2 (2) & & \end{matrix}\right.$

Ta cần tìm các số $\alpha ;\beta$ để sau khi biến đổi $(1);(2)$ rồi trừ theo vế ta được một pt có dạng $(x\pm y)F(x,y)=0$, từ đó giúp giải được pt ban đầu.

Thí dụ 1: Giải pt:

$\sqrt{x+1}=x^2+4x+5$

Phân tích: 
Đặt $\sqrt{x+1}=\alpha y+\beta$ ($\alpha \neq 0$)

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}\alpha y+\beta =x^2+4x+5 & & \\ x+1=\alpha ^2y^2+2\alpha \beta y+\beta ^2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2+4x-\alpha y=\beta -5 (1) & & \\ \alpha ^2y^2+2\alpha \beta y-x=1-\beta ^2 (2) & & \end{matrix}\right.$ $(*)$

Chọn $\alpha ^2=1$. Khi đó:

$(2)\Leftrightarrow y^2+2\alpha \beta y-x=1-\beta ^2 (3)$

Trừ theo vế của $(1)$ cho (3) ta được:

$(x^2-y^2)+5x-(\alpha +2\alpha \beta )y=\beta ^2+\beta -6$

Chọn $\alpha ;\beta$ thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix}\alpha +2\alpha \beta =\pm 5 & & \\ \beta ^2+\beta -6=0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha =1 & & \\ \beta =2 & & \end{matrix}\right.$

Chúng ta có thể hiểu và làm gọn hơn như sau:

$(*)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha ^2=1 & & \\ 2\alpha \beta =4 & & \\ \alpha =1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha =1 & & \\ \beta =2 & & \end{matrix}\right.$ (Hệ số của $x^2$ giống hệ số của $y^2$; hệ số của $x$ giống hệ số của $y$)

Lời giải: ĐK: $x\geq 1$ 

Đặt $\sqrt{x+1}=y+2$ ($y\geq -2$)
Ta được hệ: $\left\{\begin{matrix}x^2+4x-y=-3 (1) & & \\ y^2+4y-x=-3 (2) & & \end{matrix}\right.$

Trừ theo vế của $(1)$ và $(2)$ ta được: $(y-x)(y+5+x)=0$

$\Rightarrow \begin{bmatrix}y=x & & \\ y=-5-x & & \end{bmatrix}$

Thay ngược trở lại $(1)$ hoặc $(2)$ để tìm nghiệm.

Thí dụ 2: Giải pt:

$\sqrt{3x+1}+4x^2-13x+5=0$

Lời giải: ĐK: $x\geq -\frac{1}{3}$

Làm tương tự Thí dụ 1 tìm được $\left\{\begin{matrix}\alpha =2 & & \\ \beta =-2 & & \end{matrix}\right.$

Đặt $\sqrt{3x+1}=2y-2$ ($y\geq 1$)

Ta được hệ: $\left\{\begin{matrix}4x^2-13x+2y=-3 (1) & & \\ 4y^2-8y-3x=-3 (2) & & \end{matrix}\right.$

Trừ theo vế của $(1)$ và $(2)$ rồi làm tương tự thí dụ 1.

Bài toán 2: Giải pt:
$\sqrt[3]{ax+b}=cx^3+dx^2+ex+f$ ($II$) với $ac\neq 0$

Lời giải: Đặt $\sqrt[3]{ax+b}=\alpha y+\beta$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}\alpha y+\beta =cx^3+dx^2+ex+f & & \\ ax+b=\alpha ^3y^3+3\alpha ^2\beta y^2+3a\beta ^2y-ax=b-\beta ^3 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}cx^3+dx2+ex-\alpha y=\beta -f (3) & & \\ \alpha ^3y^3+3\alpha ^2\beta y^2+3\alpha \beta ^2y-ax=b-\beta ^3 (4) & & \end{matrix}\right.$

Tương tự bài toán 1, ta cần tìm các số $\alpha ;\beta$ để sau khi biến đổi $(1);(2)$ rồi trừ theo vế ta được một pt có dạng $(x\pm y)F(x,y)=0$, từ đó giúp giải được pt ban đầu.

Thí dụ 3: $\sqrt[3]{x+1}=x^3-15x^2+75x-131$

Phân tích: Đặt $\sqrt[3]{x+1}=\alpha y+\beta$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}\alpha y+\beta =x^3-15x^2+75x-131 & & \\ x+1=\alpha ^3y^3+3\alpha ^2\beta y^2+3\alpha \beta ^2y+\beta ^3 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3-15x^2+75x-\alpha y=\beta +131 (3) & & \\ \alpha ^3y^3+3\alpha ^2\beta y^2+3\alpha \beta ^2y-x=1-\beta ^3 (4) & & \end{matrix}\right.$ $(**)$

Trừ theo vế của $(3)$ và $(4)$ ta được:
$x^3-\alpha ^3y^3-(15x^2+3\alpha ^2\beta y^2)+76x-(\alpha +3\alpha \beta ^2)y=\beta ^3+\beta +130$

Ta chọn $\alpha ;\beta$ thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix}\alpha ^3=\pm 1 & & \\ 3\alpha ^2\beta =-15 & & \\ \alpha +3\alpha \beta ^2=\pm 76 \\ \beta ^3+\beta +130=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha =1 & & \\ \beta =-5 & & \end{matrix}\right.$

Dễ hiểu hơn:
$(**)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha ^3=1 & & \\ 3\alpha ^2\beta =-15 & & \\ \end{matrix}\right.$ (Hệ số giống nhau, có lẽ chỉ cần hệ 2 pt này là đủ)
​Lời giải: Đặt $\sqrt[3]{x+1}=y-5$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}x^3-15x^2+75x-y=126 & & \\ y^3-15y^2+75y-x=126 & & \end{matrix}\right.$

Giải tương tự bài toán 1.

Có lẽ không cần đến Thí dụ 4, nhỉ?

Nhận xét:
Dạng pt này là khó, chúng ta đã bắt gặp đâu đó và cách giải của nó với điều kiện của pt rất phức tạp! Dường như người ta đã cố ý áp đặt n hư vậy để giải được. Lẽ dĩ nhiên nếu không chọn được $\alpha ;\beta$ thì pt cũng không thể giải được như trên. Với cách làm này mình hi vọng các bạn THCS sẽ dễ hiểu hơn. Cuối cùng xin mời các bạn luyện tập qua việc tự giải các pt sau:

1) $2\sqrt{2x-1}=x^2-2x$

2) $\sqrt{3x-2}+4x^2-21x+22=0$

3) $2x^3=1+\sqrt[3]{\frac{x+1}{2}}$

4) $\sqrt[3]{3x^3-5}=8x^3-36x^2+53x-25$

5) $x^3+3x^2-3\sqrt[3]{3x+5}=1-3x$

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT

Phương trình chứa căn thức khá đa dạng và cũng phong phú về cách giải. Bài viết này trình bày về phương pháp đặt ẩn phụ để giải một số phương trình chứa căn thức có dạng đặc biệt là:

$\alpha x+\beta =F(\sqrt{1-x},\sqrt{1+x}) (*)$

Chúng ta chủ yếu sẽ xét các phương trình dạng:

$\alpha x+\beta =a\sqrt{1-x}+b\sqrt{1+x}+c\sqrt{1-x^2}(**)$

Trước hết ta thấy các phương trình trên có tập xác định là $[-1;1]$.

I. Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn.

1. Đặt một ẩn phụ:
Nếu các hệ số trong $(**)$ thỏa mãn điều kiện:

$\left\{\begin{matrix}ab=\frac{c}{2} & & \\ a^2-b^2=\alpha & & \end{matrix}\right.(***)$

thì ta có thể đặt $t=a\sqrt{1-x}+b\sqrt{1+x}$
Khi đó: $t^2=(a\sqrt{1-x}+b\sqrt{1+x})^2$

$=2ab\sqrt{1-x^2}-(a^2-b^2)x+(a+b)$

$=c\sqrt{1-x^2}-\alpha x+(a+b)$
Từ đó được phương trình ẩn $t$.

Ví dụ 1: 



Giải pt:
$4=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+2\sqrt{1-x^2} (1)$
Lời giải: Đặt $t=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}$ với $t\geq 0$

Ta có: $t^2=2+2\sqrt{1-x^2}\Rightarrow 2\sqrt{1-x^2}=t^2-2$

Từ đó ta được phương trình:
$4=t+t^2-2\Leftrightarrow t^2+t-6=0\Leftrightarrow t=2$ (Do $t\geq 0$)

$\Rightarrow 4=2+2\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow x=0$

Thử lại thỏa mãn.

Ví dụ 2: Giải pt:
$3x-7=3\sqrt{1+x}-6\sqrt{1-x}-4\sqrt{1-x^2} (2)$

Lời giải: Ta có:

$(2)\Leftrightarrow 3x-7=3(\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x})-4\sqrt{1-x^2}$

Kiểm tra với $\alpha =3;a=-2;b=1;c=-4$ thì thỏa mãn $(***)$.

Đặt $t=\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x}$, ta được phương trình:
$t^2+3t+2=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}t=2 & & \\ t=-1 & & \end{bmatrix}$

Ta đưa về giải các phương trình:

$\begin{bmatrix}\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x}=2 & & \\ \sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x}=-1 & & \end{bmatrix}$

Chuyển vế bình phương, từ đó tìm ra nghiệm của phương trình.

Ví dụ 3: Giải pt:
$12\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}-8\sqrt[4]{1-x^2}=0 (3)$

Lời giải: Thử $x=-1$ không thỏa mãn $(3)$.

Xét $x\neq -1$, ta có:
$(3)\Leftrightarrow 12\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}+1-8\sqrt[4]{\dfrac{1-x}{1+x}}=0$
Đặt $t=\sqrt[4]{\dfrac{1-x}{1+x}}$ ta được phương trình:

$12t^2-8t+1=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}t=\frac{1}{2} & & \\ t=\frac{1}{6} & & \end{bmatrix}$

Từ đó tìm ra nghiệm của phương trình.

2. Đặt ẩn phụ:
Ví dụ 4: Giải pt:

$x+3=\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}+3\sqrt{1-x^2} (4)$

Lời giải: Ta tìm $\alpha ;\beta$ thỏa mãn:
$x+3=\alpha (1+x)+\beta (1-x)=(\alpha -\beta )x+(\alpha +\beta )$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha -\beta =1 & & \\ \alpha +\beta =3 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha =2 & & \\ \beta =1 & & \end{matrix}\right.$

Đặt $u=\sqrt{1+x};v=\sqrt{1-x}$. Ta được:

$2u^2+v^2=v-u+3uv\Leftrightarrow 2u^2-3uv+v^2=v-u$

$\Leftrightarrow (u-v)(2u-v)=v-u\Leftrightarrow \begin{bmatrix}u=v & & \\ 2u-v=-1 & & \end{bmatrix}$

Từ đó tìm ra nghiệm của pt.

II. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

Ví dụ 5: Giải pt:
$4x+3=-6\sqrt{1-x}+12\sqrt{1-x^2}(5)$

Lời giải: Đặt $t=\sqrt{1+x}$ ($0\leq t\leq \sqrt{2}$)

Suy ra $x=t^2-1$. Ta được phương trình.

$4t^2-1=-6\sqrt{1-x}+12t\sqrt{1-x}\Leftrightarrow 4t^2-12t\sqrt{1-x}+6\sqrt{1-x}-1=0$

Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $t$, ta có:

$\Delta '=(6\sqrt{1-x}-2)^2$

Từ đó $t=\dfrac{1}{2}$ hoặc $t=\dfrac{6\sqrt{1-x}-1}{2}$

Ta đưa về giải các phương trình ẩn $x$.
Từ đó tìm ra nghiệm của pt.

Ví dụ 6: Giải pt:
$x+1=2\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}-\sqrt{1-x^2}(6)$

Lời giải: Đặt $t=\sqrt{1-x}$ ($0\leq t\leq \sqrt{2}$)
Suy ra $x=1-t^2$. Ta được phương trình:

$t^2-(\sqrt{1+x}+1)t+2(\sqrt{1+x}-1)=0$

Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $t$, ta có:

$\Delta =(\sqrt{1+x}-3)^2$

Từ đó $t=\sqrt{1+x}-1$ hoặc $t=2$ (loại)

Từ đó tìm ra $x$.

Ví dụ 7: Giải pt:

$3x+1=-2\sqrt{1-x}+4\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x^2}(7)$

Lời giải: Xét $a;b;c$ thỏa mãn:
$3x+1=a(\sqrt{1+x})^2+b(\sqrt{1-x})^2+c$

Đặt $t=\sqrt{1-x}$ ($0\leq t\leq \sqrt{2}$)

Pt (7) trở thành:

$bt^2+(2+\sqrt{1+x})t+a(\sqrt{1+x})^2-4\sqrt{1+x}+c=0$

Với $b\neq 0$, coi đây là phương trình bậc hai ẩn t, chọn $m,n$ thỏa mãn:
$\Delta =(2+\sqrt{1+x})^2-4b[a(\sqrt{1+x})^2-4\sqrt{1+x}+c]$

$=m(\sqrt{1+x}+n)^2\Rightarrow \left\{\begin{matrix}1-4ab=m^2 & & \\ 2(1+4b)=mn & & \\ 4(1-bc)=n^2 \end{matrix}\right.$

Chọn $a=2;b=-1;c=0$ thì tìm được $m=-3$ và $n=2$.

Khi đó $\Delta =(-3\sqrt{1+x}+2)^2$ và ta được 

$\begin{bmatrix}t=2\sqrt{1+x} & & \\ t=2-\sqrt{1+x} & & \end{bmatrix}$

Từ đó tìm ra $x$.

Ví dụ 8: Giải pt:

$-x+5=5\sqrt{1-x}+3\sqrt{1+x}-3\sqrt{1-x^2}(8)$

Lời giải: Xét $a;b;c$ thỏa:
$-x+5=a(1+x)+b(1-x)+c$

Đặt $t=\sqrt{1+x}$ ($0\leq t\leq \sqrt{2}$)

Pt (8) trở thành:

$at^2-3(1-\sqrt{1-x})^2-4ab[(\sqrt{1-x})^2-5\sqrt{1-x}+c]$
$=(m\sqrt{1-x}+n)^2$

Tìm được $a=b=c=1$ thì $m=n=1$.

Từ đó $\Delta =(\sqrt{1-x}+1)^2$ và ta được:
$\begin{bmatrix}t=2-\sqrt{1-x} & & \\ t=1-2\sqrt{1-x} & & \end{bmatrix}$

Từ đó tìm ra $x$.

Bài tập tự luyện:
Bài 1: Giải các pt sau:
a) $3=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x^2}$

b) $x+3=2\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x^2}$

c) $x+5=2\sqrt{1-x}+4\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x^2}$

d) $x=3\sqrt{1-x}-2\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1+x}$

e) $3x-1=-4\sqrt{1-x}+2\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x^2}$

f) $x-1=-2\sqrt{1-x}+1+x-2\sqrt{1-x^2}$

g) $x^2+x+8=2(3+x)\sqrt{1-x}+4\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x^2}$

Bài 2: Tìm các giá trị của tham số $m$ để các phương trình sau có nghiệm:
a) $m(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+2)=1+\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x^2}$

b) $(m+1)(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}+2)=-\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+2\sqrt{1-x^2}$

c) $3\sqrt{1-x}+m\sqrt{1+x}-2\sqrt[4]{1-x^2}=0$